સાબિત કરો કે વિકલ સમીકરણ $(x^{2}-y^{2}) dx + 2xy dy = 0$ એ સમપરિમાણીય (homogeneous) સમીકરણ છે અને તેનો ઉકેલ શોધો.

(N/A) આપેલ વિકલ સમીકરણ:
$(x^{2}-y^{2}) dx + 2xy dy = 0$
$\Rightarrow \frac{dy}{dx} = \frac{-(x^{2}-y^{2})}{2xy} = F(x, y)$ ..............$(1)$
સમપરિમાણીયતા ચકાસવા માટે,$F(\lambda x, \lambda y)$ ની ગણતરી કરીએ:
$F(\lambda x, \lambda y) = \frac{-((\lambda x)^{2}-(\lambda y)^{2})}{2(\lambda x)(\lambda y)} = \frac{-\lambda^{2}(x^{2}-y^{2})}{\lambda^{2}(2xy)} = \lambda^{0} F(x, y)$
આમ,$F(\lambda x, \lambda y) = \lambda^{0} F(x, y)$ હોવાથી,સમીકરણ સમપરિમાણીય છે.
ઉકેલવા માટે,$y = vx$ આદેશ લઈએ,જેથી $\frac{dy}{dx} = v + x \frac{dv}{dx}$ થાય.
સમીકરણ $(1)$ માં કિંમત મૂકતા:
$v + x \frac{dv}{dx} = \frac{-(x^{2} - (vx)^{2})}{2x(vx)} = \frac{-(x^{2} - v^{2}x^{2})}{2vx^{2}} = \frac{v^{2}-1}{2v}$
$x \frac{dv}{dx} = \frac{v^{2}-1}{2v} - v = \frac{v^{2}-1-2v^{2}}{2v} = \frac{-(1+v^{2})}{2v}$
ચલને અલગ કરતા:
$\frac{2v}{1+v^{2}} dv = -\frac{dx}{x}$
બંને બાજુ સંકલન કરતા:
$\int \frac{2v}{1+v^{2}} dv = -\int \frac{1}{x} dx$
$\ln(1+v^{2}) = -\ln|x| + \ln|C| = \ln|\frac{C}{x}|$
$1+v^{2} = \frac{C}{x}$
$v = \frac{y}{x}$ મૂકતા:
$1 + \frac{y^{2}}{x^{2}} = \frac{C}{x}$
$\frac{x^{2}+y^{2}}{x^{2}} = \frac{C}{x}$
$x^{2}+y^{2} = Cx$